Carte de fidélité

Sofia est une gérante de supermarché et elle va ouvrir très prochainement un nouveau magasin. Elle est décidée à fidéliser sa clientèle au plus vite. Le jour de l'ouverture, elle propose pour commencer d'offrir un café et un croissant aux clients du magasin.
Suivant un scénario qui a fait ses preuves, dès que les clients auront le café en main, ses employés devront vanter les mérites de leur carte de fidélité.
L'expérience lui montre qu'un client sur six prendra une carte de fidélité.
Le choix de chaque client de prendre ou non une carte de fidélité est indépendant du choix des autres clients.

1. Justifier que le choix d'un client peut être assimilé à une épreuve de Bernoulli dont on précisera la loi de probabilité.

2. On interroge au hasard 12 clients se présentant à une caisse en leur demandant s'ils ont, oui ou non, pris la carte de fidélité. On suppose que le nombre de clients est suffisamment grand pour que cette sélection soit assimilée à un tirage avec remise.
    a. Illustrer cette situation à l'aide d'un arbre de probabilités paraît-il judicieux ? Justifier. 
On note \(X\) la variable aléatoire qui donne le nombre de clients, parmi les 12, ayant pris la carte de fidélité.
    b. Compléter le tableau suivant qui donne la loi de probabilité de la variable aléatoire \(X\).
\(\begin{align*} \begin{array}{|c|c|} \hline \text{Nombre de clients ayant pris la carte } x_i&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12\\ \hline \text{Probabilité }P(X=x_i)&\\ \hline \end{array}\end{align*}\)    c. Calculer l'espérance de la variable aléatoire \(X\), puis en donner une interprétation dans le contexte de l'activité.
3. On note \(n\) le nombre de répétitions de l'épreuve de Bernoulli et \(p\) la probabilité de succès de cette épreuve. Ici on a donc \(n=12\) et \(p=\dfrac{1}{6}\).
    a. Calculer \(n\times p\). Que remarque-t-on ?
    b. Si le magasin a accueilli \(2~000\) clients durant ce premier jour d'ouverture, combien de cartes de fidélité la gérante peut-elle espérer avoir distribuées ?